Теория массового обслуживания (англоязычное название - queueing theory - теория очередей) возникла в начале 20 века. Ее основоположником считается датский ученый А.К. Эрланг, работавший в шведской телефонной компании и занимавшийся вопросами проектирования телефонных сетей. В дальнейшем теория получила интенсивное развитие и применение в различных областях науки, техники, экономики, производства. Это объясняется тем, что эта теория изучает широко распространенные в человеческой практике ситуации, когда имеется некоторый ограниченный ресурс и множество (поток) запросов на его использование, следствием чего являются задержки или отказы в обслуживании некоторых запросов. Стремление понять объективные причины этих задержек или отказов и по возможности уменьшить их воздействие является побудительным мотивом развития теории массового обслуживания.

Как правило, поступление запросов (или их групп) происходит в случайные моменты времени и для их удовлетворения требуется случайная часть ограниченного ресурса (или случайное время его использования). Поэтому изучение процесса удовлетворения потребности в ресурсе (процесса обслуживания) обычно проводится в рамках теории случайных процессов как специальной области теории вероятностей. Иногда исследование процесса обслуживания требует применения достаточно тонких математических методов и серьезного математического аппарата. Это делает полученные результаты практически недоступными инженеру, потенциально заинтересованному в их применении к исследованию реального объекта.

Что, в свою очередь, лишает автора математического результата «обратной связи», важной для правильного выбора направления для дальнейшего обобщения результатов и объектов исследования. Эта серьезная проблема подмечена в обзоре известного специалиста Р. Сиски, отмечающего опасность возможности распада единой теории массового обслуживания на абстрактную и инженерную. Прямым следствием этой проблемы при написании книги обычно является вопрос выбора языка и соответствующего уровня строгости изложения результатов. Данная книга ориентирована как на специалистов в области теории массового обслуживания, так и на специалистов в области ее приложения к исследованию реальных объектов (в первую очередь, компьютерных сетей). Поэтому в данной главе приведем краткий обзор методов анализа систем массового обслуживания на среднем уровне строгости. Предполагается знакомство читателя с теорией вероятностей в рамках курса для технического вуза. При необходимости, некоторые сведения приводятся непосредственно в тексте.

Важным этапом в применении теории массового обслуживания для исследования реального объекта является формальное описание функционирования этого объекта в терминах той или иной системы массового обслуживания (СМО). СМО считается заданной, если полностью описаны следующие ее компоненты:

Входящий поток запросов (заявок, требований, сообщений, вызовов);

Количество и типы обслуживающих устройств (приборов);

Емкости накопителей (буферов), где запросы, заставшие все приборы занятыми, ожидают начала обслуживания;

Времена обслуживания запросов на приборах;

Дисциплина обслуживания (она определяет порядок обработки запроса в системе, начиная с момента его поступления в систему и до момента, когда он покидает СМО).

Математика подобна мясорубке, она может

переработать любое мясо, но для того, чтобы

получить хорошие котлеты, нужно и хорошее мясо.

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по версте, пока не настиг первого. Через сколько дней второй воин настигнет первого?

Старинная задача

Основные понятия теории очередей

Многие экономические задачи связаны с системами массового обслуживания , в которых происходит удовлетво­рение требований на выполне­ние каких–либо услуг.

Исследованием систем массового обслуживания занимается теория очередей, на начальное развитие которой оказали особое влияние труды датского ученого Эрланга А.К. (1878–1929) в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Общая схема системы массового обслуживания показана на рис. 11.1.

Требование на обслуживание (например, неисправный автомобиль) поступает в обслуживающую систему (автомастерскую). Если есть свободные каналы обслуживания (мастера), то требование выполняется. Если все каналы заняты, то требование ставится в очередь по определенным правилам или покидает систему не обслуженным.

Основная задача теории массового обслуживания сводится к определению оптимального со­отношения между входным потоком требований и числом обслуживающих каналов, при котором общие суммарные затраты минимальны.

Общие суммарные затраты складываются из затрат обслуживания и затрат ожидания, причем по мере увеличения сервиса затраты обслуживания увеличиваются, а затраты ожидания уменьшаются.

Систему массового обслуживания можно описать, задавая следующие ее компоненты: входной поток требований, дисциплину очереди и механизм обслуживания.

Входной поток требований характеризуется вероятностным законом распределения моментов поступления требований в систему и количеством требований в каждом поступлении.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удоб­ны в практических приложениях методы решения таких задач теории очередей, в которых поток требований является про­стейшим (пуассоновским) .

Простейший поток событий обладает тремя свойствами:

- стационарностью – постоянным количеством событий в единицу времени;

- отсутствием последействия – независимостью количества событий после любого момента времени от количества событий до него;

- ординарностью – практической невозможностью одновременного поступления нескольких требований.

Для простейшего потока частота наступления событий подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность того, что за время t произойдет k событий определится

где l – количество событий в единицу времени (интенсивность потока).

Вероятность выхода из строя одной установки (k = 1) при отказе в среднем в единицу времени двух установок (l = 2)

Вероятность отсутствия вышедших из строя установок за любой случайный час – 13%, вероятность выхода из строя одной установки – 27%, двух – 27%, трех – 18%, четырех – 9% и т.д. (рис. 1.2).

Рис. 10.2. Распределение Пуассона для l = 2

По теореме сложения вероятностей вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих событий, отсюда вероятность отказа в единицу времени не более четырех установок равна сумме вероятности отсутствия отказа и вероятностей отказа одной, двух, трех, четырех установок:

Вероятность отказа более четырех установок

P (m >4) = 1– 0,945 = 0,055.

Дисциплина очереди описывает порядок обслуживания требований в системе. Длина очереди может быть ограниченной или неограниченной. Правила постановки в очередь: FIFO – «первым пришел первым обслуживаешься», LIFO – «последним пришел первым обслуживаешься», по другим приоритетам или случайно.

Механизм обслуживания характеризуется продолжительностью процедур обслуживания и количеством одновременно обслуживаемых требований.

Время обслуживания требований в системе является случайной величиной и обычно описывается экспоненциаль­ным законом распределения , то есть распределение длительности оставшейся части работ по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Вероятность того, что время обслуживания не превосходит не­которой величины t , определяется формулой:

где m – величина, обратная среднему времени обслужи­вания:

Введем в рассмотрение параметр a – коэффициент загрузки системы или среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования:

где l – среднее число требований, поступающих в единицу времени; m – среднее число требований, удовлетворяемых в единицу времени; Т обс – среднее время обслуживания одним каналом одного требования.

Заметим, что если a меньше количества каналов обслуживания, то очередь не может расти безгранично, то есть число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования.

Различают следующие виды систем массового обслуживания.

В зависимости от условий ожидания требованием начала об­служивания различают системы массового обслуживания с отказами и с ожиданием.

В системах с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и утрачивают­ся.

В системах с ожиданием требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, ставится на очередь вплоть до освобождения любого из каналов.

Системы, допускающие очередь, но с ограниченным числом требо­ваний в ней, называются системами с ожиданием и ограниченной длиной очере­ди .

Системы, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребы­вания каждого требования в ней, называются системами с ограни­ченным временем ожидания .

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным числом циркулирующих в системе требований, называются системами с ограниченным потоком требований .

По числу каналов обслуживания различают одноканальные и многоканальные системы .

По числу фаз обслуживания – однофазные и многофазные (последовательная обработка требований на нескольких каналах).

Ожидание того или иного вида обслуживания является частью нашей повседневной жизни. Мы ожидаем, чтобы пообедать в ресторане, мы стоим в очереди к кассам в магазинах и выстраиваемся в очередь в почтовых отделениях. Очередь возникает практически во всех присутственных местах: налоговых инспекциях, паспортных столах, страховых компаниях и пр. Феномен ожидания характерен не только для людей: работы, поставленные в очередь для выполнения; группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на посадку в аэропорту; автомобили, движение которых приостановлено сигналом светофора на пути их следования, грузовые суда, ожидающие погрузки/разгрузки в порту, и т.п.

Изучение очередей в системах массового обслуживания (СМО) озволяет определить критерии функционирования обслуживающей системы, среди которых наиболее значимыми являются среднее время ожидания в очереди и средняя длина очереди. Эта информация используется затем для выбора надлежащего уровня обслуживания, что продемонстрировано в следующем примере.

Пример 2.6.1. Физические лица, сдающие декларацию о доходах, жалуются на медленное обслуживание. В настоящее время в данном подразделении работают три налоговых инспектора. В результате расчетов, формулы для которых мы рассмотрим ниже, обнаружена следующая зависимость между числом инспекторов и временем ожидания обслуживания.

Число инспекторов 1 2 3 4 5 6 7

Среднее время ожидания 80.2 50.3 34.9 24.8 14.912.9 9.4

______(минуты) _______________________________________

Приведенные данные свидетельствуют о том, что при работающих в настоящее время трех инспекторах среднее время ожидания обслуживания примерно равно 35 минут. По мнению посетителей, приемлемо было бы 15 минут ожидания. Как следует из этих же данных, среднее время ожидания становится меньше 15 минут, если число инспекторов больше или равно пяти.

Результаты исследования системы обслуживания также можно использовать для оптимизации модели со стоимостными характеристиками, в которой минимизируется сумма затрат, связанных с предоставлением услуг, и потерь, обусловленных задержками в их предоставлении. На рис. 2.6.1 изображена типичная стоимостная модель системы обслуживания, где затраты на обслуживание возрастают с ростом его уровня. В то же время потери, обусловленные задержками в предоставлении услуг, уменьшаются с возрастанием уровня обслуживания.

Главной проблемой, связанной с применением стоимостных моделей, является трудность оценки потерь в единицу времени, обусловленных задержками в предоставлении услуг.

Задачи массового обслуживания возникают в том случае, когда заявки на обслуживание (или требования ) не могут быть выполнены в силу занятости обслуживающего персонала (оборудования) или сама обслуживающая система оказывается бездействующей в силу отсутствия заявок. При моделировании данных задач используются фундаментальные понятия теории вероятности, т.к. случайными оказываются поток требований или длительность времени обслуживания, или и то и другое. При решении этих задач приходится определять либо оптимальное число обслуживающих каналов, либо оптимальную скорость потока (или находить моменты поступления заявок).

Класс моделей, пригодных для решения подобных задач, называют еще теорией очередей.

Эта теория представляет особый раздел теории случайных процессов и использует, в основном, аппарат теории вероятностей. Первые публикации в этой области относятся к 20-м гг. XX в. и принадлежат датчанину А. Эрлангу, занимавшемуся исследованиями функционирования телефонных станций – типичных СМО, где случайны моменты вызова, факт занятости абонента или всех каналов, продолжительность разговора. В дальнейшем теория очередей нашла развитие в работах К.Пальма, Ф.Поллачека, А.Я.Хинчина, Б.В.Гнеденко, А.Кофмана, Р.Крюона, Т. Cаати и других отечественных и зарубежных математиков.

При решении задач, связанных с очередями, возможны две ситуации:

а) число заказов слишком велико; имеет место большое время ожидания (недостаточный объем обслуживающего оборудования );

б) поступает недостаточное число заказов; имеет место простой оборудования (избыток оборудования ).

Необходимо найти оптимальное соотношение между потерями, вызванными простоем оборудования, и потерями из-за ожидания.

В качестве основных элементов СМО следует выделить входной поток заявок, очередь на обслуживание, cистему (механизм) обслуживания и выходящий поток заявок. В роли заявок (требований, вызовов) могут выступать покупатели в магазине, телефонные вызовы, поезда при подходе к железнодорожному узлу, вагоны под разгрузкой, автомашины на станции техобслуживания, самолеты в ожидании разрешения на взлет, штабель бревен при погрузке на автотранспорт. Роль обслуживающих приборов (каналов, линий) играют продавцы или кассиры в магазине, таможенники, пожарные машины, взлетно-посадочные полосы, экзаменаторы, ремонтные бригады.

По характеру случайного процесса, происходящего в СМО, различают системы марковские и немарковские.

Случайный процесс называется марковским , если для любого момента времени t вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Рассмотренные ниже модели относятся к марковским системам.

В случае немарковских процессов задачи исследования СМО значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Очередей теория

раздел массового обслуживания теории (См. Массового обслуживания теория). О. т. изучает системы, в которых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают её освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке (часто с предоставлением приоритета определённым категориям требований). Выводы О. т. используют для рационального планирования систем массового обслуживания. С математической точки зрения задачи О. т. могут быть включены в теорию случайных процессов (См. Случайный процесс), а ответы часто бывают выражены в терминах Лапласа преобразований (См. Лапласа преобразование) искомых характеристик. Применение методов О. т. необходимо даже в простейших случаях для правильного понимания статистических закономерностей, возникающих в системах массового обслуживания.

Пример. Пусть имеется один обслуживающий прибор, на который поступает случайный поток требований. Если в момент поступления требования прибор свободен, то оно сразу начинает обслуживаться. В противном случае оно становится в очередь и прибор обслуживает требования одно за другим в порядке их поступления. Пусть а - среднее число требований, поступающих за время одного обслуживания, а Т - длительность периода занятости, то есть промежутка времени от момента занятия прибора каким-либо требованием, заставшим прибор свободным, до первого момента полного освобождения прибора. О. т. показывает, что при естественных допущениях математическое ожидание Т равно m = 1/(1 - а), а дисперсия равна (1 + a ) m 3 (так, при а = 0,8 соответствующие значения равны 5 и 225). Таким образом, для «хорошо загруженного» обслуживающего прибора (то есть при а, близких к 1) среднее значение m случайной величины Т является весьма ненадёжной характеристикой Т.

Лит.: Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н., Введение в теорию массового обслуживания, М., 1966; Приоритетные системы обслуживания, М., 1973.

Ю. В. Прохоров.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

• Очанка
• Очередные задачи советской власти

Смотреть что такое "Очередей теория" в других словарях:

ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ - в математике раздел теории массового обслуживания, где изучаются системы, в которых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают ее освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке … Большой Энциклопедический словарь

очередей теория - (матем.), раздел теории массового обслуживания, где изучаются системы, в которых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают её освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке. * * * ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ, в… … Энциклопедический словарь

ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ - см. Массового обслуживания теория … Большой энциклопедический политехнический словарь

ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ - раздел массового обслуживания теории. О. т. изучает системы, в к рых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают ее освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке (часто с предоставлением приоритета определенным… … Математическая энциклопедия

ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ - (матем.), раздел теории массового обслуживания, где изучаются системы, в к рых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают её освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке … Естествознание. Энциклопедический словарь

Теория массового обслуживания - (теория очередей) раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие… … Википедия

теория массового обслуживания - — теория массового обслуживания Раздел исследования операций, который рассматривает разнообразные процессы в экономике, а также в телефонной связи, здравоохранении и других… … Справочник технического переводчика

Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания - раздел исследования операций, который рассматривает разнообразные процессы в экономике, а также в телефонной связи, здравоохранении и других областях как процессы обслуживания, т.е. удовлетворения каких… … Экономико-математический словарь

Теория очередей - см. Теория массового обслуживания … Экономико-математический словарь

Книги

• Логистика и теория очередей
• Логистика и теория очередей , Рыжиков Ю.И.. В учебном пособии рассматривается современное состояние теории логистики, обсуждаются элементы математической модели управления запасами и основы численных методов теории очередей;…