Парето распределение. Индивидуальное распределение, его свойства и методы анализа
Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей - двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений , являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето . Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других . Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.
Определение
Пусть случайная величина X {\displaystyle X} такова, что её распределение задаётся равенством:
F X (x) = P (X < x) = 1 − (x m x) k , ∀ x ≥ x m {\displaystyle F_{X}(x)=P(Xгде x m , k > 0 {\displaystyle x_{m},k>0} . Тогда говорят, что X {\displaystyle X} имеет распределение Парето с параметрами x m {\displaystyle x_{m}} и k {\displaystyle k} . , . Его правило 20 к 80 (которое гласит: 20% популяции владеет 80% богатства) однако зависит от конкретной величины k , и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d"économie politique говорят, что там примерно 30% населения владеет 70% общего дохода.
Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры.
Распределение Парето
Перейдем от выражения для кривой Парето (1.2) к распределению Парето случайной величины х (в вышерассмотренных примерах - это величина доходов) в терминах теории вероятностей и математической статистики.
Сначала перейдем к вероятностной интерпретации величины лиц, имеющих доход Х не ниже данного х , представленный (1.2), поделив это выражение на общее количество Y населения, получающего доход не ниже х .
Учитывая, что по закону Парето, как было указано ранее, доходы (или другая случайная величина) начинают распределяться, начиная с некоторого значения х 0 , необходимо ввести эту переменную в (1.7), несмотря на то, что ранее мы от нее избавились для удобства. Это можно сделать проведя нормировку х на х 0 :
Проведем замену:
тогда: . (1.9)
Но в теории вероятностей принято рассматривать не вероятность выраженную (1.9), а так называемую функцию распределения случайной величины, которая представляет собой дополнение (1.9) до единицы. Функция распределения F (x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше данного х , для распределения Парето имеет вид:
Соответствующая плотность вероятности р (х) находится как производная функции распределения и определяет вероятность того, что случайная величина примет значение равное х . Для распределения Парето плотность вероятности определяется выражением:
Распределения, подобные распределению Парето в том плане, что они ограничены с одной стороны значениями, которые может принимать случайная величина, называются усеченными распределениями. Обычно они применяются в исследованиях, когда важна динамика поведения не всей совокупности исследуемых объектов, а лишь некоторой ее части или даже хвоста распределения, либо если часть совокупности распределена по одному закону, а часть - по другому.
Рассмотрим важную характеристику распределения Парето, определяющую области его применения в исследованиях. Для этого найдем математическое ожидание данного распределения:
Таким образом, можно видеть, что математическое ожидание распределения Парето может быть конечно либо бесконечно в зависимости от параметра. Как уже было указано ранее, в экономических исследованиях распределения доходов выполняется условие, таким образом существует возможность найти математическое ожидание (средний уровень доходов, распределенных по закону Парето). Второй случай распределения Парето при представляет собой распределение с тяжелым хвостом (понятие рассматривается далее) и нашел применение в теории катастроф в качестве распределения, по которому определяется вероятность наступления редких, но значительных по масштабам, событий.
Рассмотрим еще одну интересную характеристику, которая определяет сумму накопленных значений х случайной величины, обозначим ее, (в рассмотренных ранее примерах это общее количество дохода всех лиц, попадающих в заданный интервал по доходу) между значениями х 1 и х 2 . Эту величину можно определить следующим образом:
При этом она будет тем точнее отображать реальность, чем больше будет расстояние между х 1 и х 2 . Понятно, что при поведение этой функции будет зависеть от параметра таким же образом, как и выше найденное математическое ожидание.
При использовании данной функции для расчета, например, суммарного дохода лиц, которые получают доход от некоторого значения х 1 до максимального дохода, получаемого в стране одним человеком, х max , целесообразней принять в качестве х 2 это значение х max которое можно выразить так:
где - значения, которые принимает случайная величина, в рассматриваемом примере - доход, в каждом конкретном случае.
Выражение (1.14) можно применять, если имеется необходимая информация о максимальном значении х max . При этом суммарный эффект (1.13) будет конечным при любом значении параметра и выражение (1.13) можно использовать для прогнозирования суммарных эффектов случайной величины х , распределенной по закону Парето, даже если это распределение имеет тяжелый хвост. Опишем, как можно сделать выражение (1.13) еще более эффективным при анализе указанных случайных величин. Предположим (а можно утверждать это с большой долей уверенности) что величина х max зависит от количества произошедших событий или наблюдаемых объектов п . А оно в свою очередь, конечно, зависти от времени t , таким образом получаем:
Логично было бы так же предположить, что от времени зависит и параметр и A (это наверняка справедливо для экономических и социальных явлений, а, возможно, и для природных):
Теперь можем переписать (1.13) для х max и x 0 в виде:
Имея достаточное количество статистических данных можно рассчитать вид и параметры (1.15) и (1.16). Таким образом мы получим динамическую модель, описывающую накопленный суммарный эффект случайной величины, распределенной по закону Парето
Непрерывное распределение вероятностей с плотностью
зависящей от параметров x 0 >0 и a>0. В такой "усеченной" трактовке П. р. выделяется как самостоятельное распределение из семейства бета-распределений
2-го рода с плотностью
при . Для любого фиксированного х 0
П. р. сводится преобразованием к бета-распределению
1-го рода. В системе Пирсона кривых
П. р. принадлежит к распределениям "типа VI" и "типа XI". Математическое ожидание П. р. конечно при и равно ; дисперсия конечна при и равна ; медиана равна . Функция распределения П. р. определена формулой
П. р. получило широкое распространение в различных задачах экономич. статистики начиная с работ В. Парето (W. Pareto, 1897) о распределении доходов. Считалось, что П. р. достаточно хорошо описывает распределение доходов, превышающих нек-рый уровень, в том смысле, что это распределение должно иметь хвост порядка при .
Лит.
: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. В. Прохоров.
- - см. Частота распределения...
Медицинские термины
- - Вильфредо - итальянский мыслитель, социолог и экономист, внесший оригинальный вклад в экономическую теорию и социологическую науку. Профессор в Лозанне...
Новейший философский словарь
- - англ. Zipf-Pareto law; нем. Zipf-Paretosches Gesetz. Закон, согласно к-рому существует тенденция к дальнейшему увеличению удельного веса элементов, уже обладающих более высокой частотой распространения...
Энциклопедия социологии
- - Парето Вильфредо - итальянский социолог и экономист, изложивший свою теоретическую социологическую концепцию в "Трактате всеобщей социологии"...
Энциклопедия социологии
- - условие повышения уровня благосотояния одного или нескольких участников рыночной сделки в результате ее совершения при условии недопущения снижения уровня благосостояния других участников этой сделки...
Терминологический словарь библиотекаря по социально-экономической тематике
- - Итальянский социолог и экономист. Его основной труд по социологии "Ум и общество" пользовался в свое время большим влиянием, однако сейчас сохраняют значение только его доводы, доказывающие,...
Политология. Словарь.
- - Вильфредо - ит. социолог и экономист. Все поступки делятся П. на логические и нелогические...
Философская энциклопедия
- - закон итальянского экономиста В.Парето, из которого следует, что доходы распределяются в зависимости от величины соотношения дохода и количества получающих его лиц и описывается уравнением N = A...
Словарь бизнес терминов
- - Условие эффективности, выведенное экономистом и политологом Вильфредо Парето...
Словарь бизнес терминов
- - общеэкономический принцип распределения в рыночном хозяйстве созданных благ, согласно которому все общество выигрывает, если каждый отдельный член общества, принося пользу себе, не снижает пользы для всего...
Словарь бизнес терминов
- - зависимость, выражающая соотношение между величиной дохода и количеством получающих его лиц. Закон распределения доходов сформулирован итальянским экономистом В.Парето: если численность людей с доходом, равным...
Большой экономический словарь
- - формулировка максимума благосостояния, выведенная В.Парето в "Учебнике политической экономии" ...
Большой экономический словарь
- - итальянский экономист В.Парето определил критерий достижения эффективности распределения: ресурсы можно считать наиболее эффективно, а значит, оптимально распределенными при заданном уровне возможностей, когда...
Большой экономический словарь
- - Вильфредо, итальянский экономист и социолог. Представитель математической школы в буржуазной политической экономии...
- - Парето Вильфредо, итальянский экономист и социолог. Представитель математической школы в буржуазной политической экономии...
Большая Советская энциклопедия
- - Вильфредо, итальянский экономист и социолог, представитель математической школы в политэкономии...
Современная энциклопедия
"ПАРЕТО РАСПРЕДЕЛЕНИЕ" в книгах
09. Вильфредо Парето
Из книги Финансисты, которые изменили мир автора Коллектив авторов09. Вильфредо Парето (1848–1923) Инженер, мыслитель, экономист и социолог, один из основоположников теории элит и структурного функционализма МАТЕМАТИК В СТАНЕ ПОЛИТЭКОНОМИИ Жизнь Вильфредо Парето служит доказательством всем известной истины, что на ошибках стоит учиться.
2. Взгляд на экономическую теорию благосостояния В.Парето. «Оптимум по Парето»
Из книги История экономической мысли [Курс лекций] автора Агапова Ирина Ивановна2. Взгляд на экономическую теорию благосостояния В.Парето. «Оптимум по Парето» До сих пор в центре нашего внимания были вопросы поведения экономических субъектов (потребителей и фирм), исследование условий оптимизации их поведения, которое сводится к максимизации
Закон Парето
Из книги Технология достижений [Турбокоучинг по Брайану Трейси] автора Трейси БрайанЗакон Парето Итальянский экономист и социолог Вильфредо Парето, известный применением математических принципов в сфере экономического анализа, разработал, помимо всего прочего, важнейшую концепцию, касающуюся распределения временных затрат. В своем первом крупном
3. Принцип 80/20 (Парето)
Из книги Ключевые стратегические инструменты автора Эванс Воган3. Принцип 80/20 (Парето) ИнструментВам нравятся гончарные изделия, устанавливаемые в садах? Или вы настолько «жадный» садовник-любитель, что хотите весь участок засадить только цветами? Если вы относитесь ко второй категории, вам следует знать, что 80 % семян вы получите
Экстремальный Парето
Из книги Хочу… совершить прорыв! Удивительно простой закон феноменального успеха автора Папазан ДжейЭкстремальный Парето Парето подтверждает все, о чем я вам рассказываю, но есть одна проблема. Он не заходит достаточно далеко, а я хочу, чтобы вы пошли дальше. Я хочу, чтобы вы привели Принцип Парето к экстремуму. Я хочу, чтобы вы сначала определили 20 %
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ
Из книги На пути к сверхобществу автора Зиновьев Александр АлександровичРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ В современных больших обществах многие миллионы людей занимают какие-то социальные позиции. Сложилась грандиозная система подготовки людей для занятия этих позиций - для замены отработанного
5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана
Из книги Медицинская физика автора Подколзина Вера Александровна5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана Распределение Максвелла – в равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния – взаимное расположение молекул, их
Парето Вильфредо
Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПА) автора БСЭПринцип Парето
Из книги Как управлять своим временем автора Вронский А. И.Принцип Парето Известный итальянский экономист и социолог Вильфредо Парето (1848–1923) в 1897 г. сформулировал принцип, названный впоследствии его именем. Также этот принцип называют правилом 80/20, или принципом наименьших усилий. Парето установил, что люди в социуме делятся
Принцип Парето
Из книги Как стать первым на YouTube. Секреты взрывной раскрутки автора Парабеллум Андрей АлексеевичПринцип Парето На сегодняшний день ситуация с продвижением на YouTube заметно изменилась. Раньше размещение видеоролика на этом сайте давало определенные преимущества. А сейчас YouTube стал достаточно популярным даже в России: многие снимают видео на камеру мобильного
Принцип Парето
Из книги Практическая психология для менеджера автора Альтшуллер А А9. Правило Парето
Из книги 100 бизнес-технологий: как поднять компанию на новый уровень автора Черепанов Роман9. Правило Парето Построение бизнеса в целом, как и его отдельного направления, требует внимания к разным деталям. Как разобраться, с чего начать?Бизнес-деятельность требует учитывать различные факторы, которых порой бывает множество. Чтобы гарантировать
ПРАВИЛО ПАРЕТО
Из книги Как управлять временем (Тайм-менеджмент) автора Потапов СергейПРАВИЛО ПАРЕТО В общем случае это правило гласит, что 80% результатов системы обеспечиваются 20% процентами затрат. Этот закон был выведен итальянским экономистом Вильфредо Парето в XIX веке. Изучая распределение богатств, он обратил внимание на то, что большая часть средств
Принцип Парето
Из книги Бизнес-леди в большом городе автора Тунцова ДианаПринцип Парето Известный итальянский экономист и социолог Вильфредо Парето (1848–1923) в 1897 г. сформулировал принцип, названный впоследствии его именем. Также этот принцип называют правилом 80/20 или принципом наименьших усилий. Парето установил, что люди в социуме делятся на
Закон Парето: 80/20
Из книги Ваш персональный коучинг успеха. Руководство к действию автора Козлова Анна М.Закон Парето: 80/20 Согласно закону Парето, из 20 % причин проистекают 80 % последствий, а 20 % затрат усилий и времени дают 80 % результата. Попробуйте организовать свою жизнь согласно данному закону, а для этого определите: какие 20 % источников создают 80 % ваших проблем и
Теоретический анализ, опирающийся на специальные раз-теории вероятностей , а также серия поставленных на ЭВМ вычислительных экспериментов показали, что только узкое семейство вероятностных распределений, простейшим из которых является распределение Парето, при О 1, надежно обеспечивает концентрацию > 75% промышленных запасов нефти менее чем в 1О% месторождений. Именно такие цифры и закономерности характерны для подавляющего большинства нефтегазоносных бассейнов и мира [l]
Рис. 10.5. Пример распределения Парето (Значения из табл.10.1)
Распределение Парето - это усеченное слева распределение, плотность вероятности и функция распределения которого выражаются в виде х
Распределение Парето можно модифицировать таким образом, чтобы его можно было использовать для описания симметричных распределений вероятностей . Введя новую переменную t = X - В, получим
Распределение изменений цены в общем случае относится к распределениям Парето (см. приложение В). Распределение торговых P L можно считать трансформацией распределения цен. Эта трансформация является результатом торговых методов, когда трейдеры пытаются понизить свои убытки и увеличить прибыли, следовательно, распределение торговых P L можно отнести к распределениям Парето. Однако распределение, которое мы будем изучать, не является распределением Парето. Распределение Парето, как и все другие функции распределения , моделирует определенное вероятностное явление. Оно моделирует распределение сумм независимых, идентично распределенных случайных переменных . Функция распределения , которую мы будем изучать, не моделирует конкретное вероятностное явление. Она моделирует многие унимодальные функции распределения. Поэтому она может повторить форму и плотность вероятности распределения Парето, а также любого другого унимодального распределения . Теперь мы создадим эту функцию. Для начала рассмотрим следующее уравнение
Мы полагаем, что распределение этих 150 не учитываемых миллиардов при отсутствии фискально-перераспределительного воздействия государства подчиняется закону распределения Парето 20% самых богатых получают 80% всех доходов (120 из 150 дополнительных миллиардов).
После изучения достаточно обширного статистического материала Парето пришел к выводу, что параметры этого распределения примерно одинаковы и не различаются принципиально в разных странах и в разное время. Кривая распределения доходов отличается замечательной устойчивостью, она меняется незначительно, хотя сильно преображаются обстоятельства времени и места, при которых ее наблюдают, - писал Парето в Социалистических системах. Форма этой кривой зависит от биологически заданного распределения психологических особенностей людей. Закон Парето породил обширную экономическую литературу, как критическую, так и интерпретирующую распределение Парето в отношении самых разных приложений - экономических, общественных, биологических, демографических и т. п.
В предыдущей главе мы видели возможную замену нормального распределения как вероятностной функции для описания рыночных прибылей. Эта замена называлась, поочередно, устойчивыми распределениями Леей, устойчивыми распределениями Парето или распределениями Парето-Леви . Теперь мы можем добавить фрактальные распределения - название, которое лучше их описывает. Поскольку традиционные названия даны в честь математиков, которые их создали, мы будем использовать все эти названия попеременно.
Оставшаяся часть этой главы посвящена анализу различных распределений вероятностей , применимых при оценке поведения рентабельности активов при условии соответствующих допущений. Начнем с двух непрерывных распределений - нормального и логнормального. Затем рассмотрим два дискретных распределения - биномиальное и Пуассона. Закончим рассмотрение группой других непрерывных распределений , в том числе и распределением Парето-Леви . Объясним наиболее желательные характеристики распределений с точки зрения финансового аналитика.
Такое семейство распределений - это стабильные распределения, называемые так потому, что при сложении распределений (перемножая линейные комбинации характеризующих их функций) этого семейства получается другое распределение, относящееся к этому же семейству. Стабильные распределения в свою очередь состоят из других, лежащих в их основе, распределений. Распределения, построенные на основе распределения Парето (функция плотности вероятности которого ДА) = а/А +1 для Х> 1), обладают требуемыми характеристиками (симметричность, высокий пик и "жирные" хвосты) при конкретных значениях четырех определяющих параметров. Эти четыре параметра
При этом получится распределение Парето (см. рис. 27) и появится возможность выявить несколько важнейших видов неполадок, на долю которых обычно приходится около 70 % всех случаев отказов. Когда информация распределена по убывающей важности, можно сконцентрировать внимание на тех участках, проработка которых даст наибольший эффект.
Рис. 27 заимствовал из отчета об отказах, обнаруженных в автомобилях Швеции во время обязательного ежегодного контроля. На нем представлена типичная картина распределения Парето.
Распределение Парето графически представлено на рис. 12.5.
Доходы Рис. 12.5. Распределение Парето
На оси х показаны доходы, а на оси/(л) число домохо-зяйств или лиц, имеющих доход, равный или больше определенной границы (х0). Распределение Парето на практике применяется при аппроксимации ранжированного по уровню доходов ряда получателей дохода внутри интервала, т. е. с его помощью описывают уровень дохода от количества получателей, чьи доходы выше или ниже заданных уровней.
В связи с соотношением (1) уместно напомнить, что в математической статистике хорошо известно распределение со степенным характером убывания плотности - это распределение Парето с плотностью (а > О, Ь>0)
Рассмотрим распределение Парето с плотностью
В последнее время традиционные модели портфелей подвергаются серьезной критике, поскольку считается, что ценовые изменения лучше всего описываются распределением Парето с бесконечной (или неопределенной) дисперсией. Однако многие исследования доказывают, что рынки в последние годы стали ближе к нормальному распределению (т.е. к ограниченной дисперсии и независимости результатов), на чем и основаны критикуемые модели портфелей. В моделях портфелей используется распределение прибылей , а не распределение изменений цен. Несмотря на то что распределение прибылей является трансформированным распределением изменений цены (в результате закрытия проигрышных сделок и максимально долгого удержания выигрышных позиций), эти распределения, как правило, отличаются. Распределение прибылей не обязательно относится к классу распределений Парето, поэтому в главе 4 мы моделировали распределение P L с помощью регулируемого распределения. Более того, существуют производные инструменты , например, опционы, которые имеют ограниченную полудисперсию или дисперсию. Например вертикальный опционный спред в дебете гарантирует ограниченную дисперсию прибылей. Я не пытаюсь оспаривать разумную критику современных моделей портфелей. Модели следует использовать при условии, что мы осознаем их недостатки. Разумеется, необходимы более совершенные модели портфелей. Я не заявляю, что современные модели адекватны , а говорю лишь о том, что входные данные для моделей портфелей, нынешних или будущих, должны основываться на торговле одной единицей на оптимальном уровне - или на том уровне, который, как мы полагаем, будет оптимальным. Например, если мы применяем теорию Е - V (модель Марковица), входными данными являются ожидаемая прибыль, дисперсия прибылей и корреляции прибылей между рыночными системами . Входные данные должны определяться на основе торговли одной единицей по каждой рыночной системе на уровне оптимального Модели
Третьим, характерным в основном для природных рисков, физическим распределением является распределение Парето (или самоподобное распределение). Функция плотности вероятности распределения ущерба при этом убывает по степенному закону
В предыдущем разделе мы предполагали, что государство является арбитром в ситуации с внешними эффектами , устанавливая плату за право на внешний эффект , которая сделает распределение парето-эффек-тивным. Но предположим, что государство не может или не хочет вмешаться. Смогут ли участники этой ситуации разобраться без его участия и каким будет итог этого разбирательства
В случае ЕМН, теория была развита, чтобы оправдать использование статистических инструментов, которые требуют независимости или, в лучшем случае, очень краткосрочной памяти. Теория часто вступала в противоречие с наблюдаемым поведением. Например, согласно ЕМН частота изменения цены должна быть хорошо представлена нормальным распределением . Мы видели в Главе 2, что дело обстоит не так. Существует слишком много больших изменений, идущих и вверх и вниз, во всех частотах, чтобы приспособить эту нормальную кривую к этим распределениям. Однако такие большие изменения были обозначены как особые события или "аномалии" и не включались в частотное распределение. Результатом исключения больших изменений и перенормирования является нормальное распределение . Изменения цены были обозначены как "приблизительно нормальные". Альтернативы нормального распределения , например, устойчивое распределение Парето, были отклонены, даже несмотря на то, что они соответствуют наблюдаемым стоимостям без модификаций. Почему Стандартный статистический анализ не мог быть применен с использованием таких распределений. распределения доходов . Последним было обнаружено, что доход хорошо аппроксимируется логнормальным распределением , за исключением приблизительно трех процентов наивысших индивидуальных доходов. На этом участке доход начинает следовать обратному степенному закону, что дает утолщв" ние хвоста. Грубо говоря, вероятность того, что один человек в десять раз богаче другого, подчиняется нормальному рас" пределению, но вероятность стократного превышения благосостояния оказывается намного больше той, что предсказывается нормальным распределением . Парето предположил, что этот утолщенный хвост, вероятно, возникает потому, что богатый может более эффективно умножать свое богатство, чем средний индивид, чтобы достичь более высокого благосостояния и более высоких доходов. Похожий обратно-степенной з кон был найден Ципфом (G. К. Zipf, 1948) для частот исполь- устойчивые распределения ведут себя так же, как и распределения Парето. В этом смысле "хвостовая" часть устойчивых распределений относится к паретовскому типу.
Отметим, что часто, особенно в финансовой литературе, распределениями типа Паретои даже просто распределениями Парето называют распределения вероятностей , плотность которых на бесконечности убывает (как у а-устойчивых законов с 0
Устойчивое распределение Парето - это на самом деле целый класс распределений, которые иногда называют распределениями Парето-Леви. Функция плотности вероятности N"(U) задается следующим образом:
где U - переменная устойчивого распределения;
А - параметр эксцесса распределения;
В - параметр асимметрии распределения;
D - параметр расположения распределения;
V - параметр ширины; i - мнимая единица, -1 л (1/2);
ABS() - функция абсолютного значения; tan() - функция тангенса;
1п() - функция натурального логарифма.
Границами параметров уравнения (В.31) являются:
Четыре параметра распределения А, В, D и V позволяют распределению принимать множество различных форм.
Переменная А определяет высоту хвостов распределения, т. е. можно сказать, что А выражает переменную эксцесса распределения. Переменная А также называется характеристическим показателем распределения. Когда А = 2, распределение является нормальным, когда А = 1, распределение является распределением Коши. При значениях А 1.
Переменная В является коэффициентом асимметрии. Когда В = 0, распределение симметрично. Чем больше асимметрия, тем больше абсолютное значение В. Отметьте, что, когда А = 2, W(U, А) = 0, ив этом случае В не влияет на распределение. Когда А = 2, не важно, чему равно В, распределение все равно симметричное и нормальное. Параметр ширины V иногда выражается как функция переменной А: V = С л А, поэтому С = V л (1/А). Когда А = 2, V равно половине дисперсии. Когда А = 1 (для распределения Коши), V равно семиинтерквартиль- ной широте. D - это параметр расположения. Когда А = 2, среднее арифметическое является несмещенной оценкой D; когда А = 1, то средним арифметическим является медиана.
Функций распределения устойчивого распределения Парето не существует. По этой причине оценка параметров данного распределения затруднена, и работа с распределением проблематична. Интересно отметить, что параметры А, В, С и D устойчивого распределения Парето соответствуют четвертому, третьему, второму и первому моментам распределения соответственно, что позволяет с помощью устойчивого распределения Парето моделировать разные типы реальных распределений, особенно в тех случаях, когда хвосты распределения толще, чем при нормальном распределении или при бесконечной дисперсии (когда А
Бесконечная дисперсия делает центральную предельную теорему неприменимой к данным, которые распределяются в соответствии с устойчивым распределением Парето, когда А
Одна из основных характеристик устойчивого распределения Парето состоит в том, что оно инвариантно относительно сложения, т.е. сумма независимых переменных (распределенных согласно устойчивому распределению Парето) с характеристическим показателем А будет распределена подобным образом, причем с достаточно близким по величине характеристическим показателем. Таким образом, мы имеем обобщенную центральную предельную теорему, которая совпадает с центральной предельной теоремой, за тем исключением, что предельной формой распределения является устойчивое распределение Парето, а не нормальное распределение, и теорема верна, даже если данные имеют бесконечную дисперсию (т. е. А
Именно эта обобщенная центральная предельная теорема позволяет использовать устойчивое распределение Парето для моделирования изменений цены .
Многие исследователи пытались классифицировать различные распределения вероятности. Без сомнения, многого добился в этой области Карл Пирсон, но, пожалуй, самая исчерпывающая работа по классификации наиболее известных распределений вероятности была представлена Фрэнком Гейтом . «Указатель» Гейта освещает почти все известные распределения, информация о которых была опубликована до января 1958 г. Гейт перечисляет большинство математических функций, связанных с распределениями. Что еще более важно, в его работе даны ссылки на книги и статьи, чтобы читатель мог найти публикации для получения более подробной информации относительно интересующего его распределения. В указателе Гейта распределения классифицируются (всего он приводит десять видов):
- 1. Нормальное.
- 2. Тип III.
- 3. Биномиальное.
- 4. Дискретное.
- 5. Распределения (А, В).
- 6. Распределения (0, +оо).
- 7. Распределения (-оо, +оо).
- 8. Прочие одномерные распределения.
- 9. Прочие двумерные распределения.
- 10. Прочие многомерные распределения.
Из всех распределений, которые мы рассмотрели в данном приложении, хи- квадрат и экспоненциальное распределение отнесены Гейтом к типу III. Биномиальное, геометрическое и распределение Бернулли отнесены к биномиальным. Распределение Пуассона и гипергеометрическое распределение отнесены к дискретным распределениям. Равномерное распределение относится к распределениям (А, В). F-распределение, а также распределение Парето относятся к распределениям (0, +оо), распределение Стьюдента считается распределением (-оо, Too), а полиномиальное распределение относится к многомерным распределениям. Следует также отметить, что не все распределения можно отнести к одной из этих десяти категорий, так как некоторые распределения можно считать подклассами других. Например, распределение Стьюдента относится к распределениям (-оо, Too), при этом нормальное распределение может считаться подклассом распределения Стьюдента, но нормальному распределению выделена собственная категория. Как видите, не существует каких-либо четких критериев для деления распределений на классы, однако указатель Гейта составлен достаточно наглядно. Читателям, интересующимся различными типами распределений и собирающимся проводить собственные исследования, следует познакомиться с работой Гейта.
- Не путайте устойчивое распределение Парето с регулируемым распределением, рассмотренным в главе 4. Устойчивое распределение Парето является реальным распределением,так как оно моделирует вероятность некоторого явления. Регулируемое распределениемоделирует другие (двухмерные) распределения вероятности, подобные распределениюПарето.
- Haight, F.A., «Index to the Distributions of Mathematical Statistics», Journal of Research of theNational Bureau of Standards - D. Mathematics and Mathematical Physics 65D, No. 1, pp. 23-60,January-March 1961.