Все хозяйственные процессы деятельности предприятий взаимосвязаны и взаимообусловлены. Одни из них напрямую связаны между собой, некоторые проявляются косвенно. Таким образом, важным вопросом в экономическом анализе является оценка влияния фактора на тот или иной экономический показатель и для этого используют факторный анализ.

Факторный анализ предприятия. Определение. Цели. Виды

Факторный анализ относится в научной литературе к разделу многомерного статистического анализа, где оценку наблюдаемых переменных проводят с помощью ковариационных или корреляционных матриц.

Факторный анализ впервые стал применяться в психометрике и в настоящее время используется почти во всех науках начиная от психологии и кончая нейрофизиологией и политологией. Основные концепции факторного анализа были определены английским психологом Гальтоном и затем развиты Спирменом, Терстоуном, Кеттелом.

Можно выделить 2 цели факторного анализа :
– определение взаимосвязи между переменными (классификация).
– сокращение числа переменных (кластеризация).

Факторный анализ предприятия – комплексная методика системного изучения и оценки воздействия факторов на величину результативного показателя.

Можно выделить следующие виды факторного анализа :

1. Функциональный, где результативный показатель определен в виде произведения или алгебраической суммы факторов.
2. Корреляционный (стохастический) – связь между результативным показателем и факторами являются вероятностой.
3. Прямой / Обратный – от общего к частном и наоборот.
4. Одноступенчатый/многоступенчатый.
5. Ретроспективный/ перспективный.

Остановимся на первых двух более подробно.

Для того, чтобы можно было провести факторный анализ необходимо :
– Все факторы должны быть количественными.
– Число факторов в 2 раза больше чем результативные показатели.
– Однородная выборка.
– Нормальное распределение факторов.

Факторный анализ осуществляется в несколько этапов:
1 этап. Отбираются факторы.
2 этап. Факторы классифицируются и систематизируются.
3 этап. Моделируется взаимосвязь между результативным показателем и факторами.
4 этап. Оценка влияния каждого фактора на результативный показатель.
5 этап. Практическое использование модели.

Выделяются методы детерминированного факторного анализа и методы стохастического факторного анализа.

Детерминированный факторный анализ – исследование, в котором факторы влияют на результативный показатель функционально. Методы детерминированного факторного анализа – метод абсолютных разниц, метод логарифмирования, метод относительных разниц. Данный вид анализ наиболее распространен в силу своей простоты применения и позволяет понять факторы, которые необходимо изменить для увеличения / уменьшения результативного показателя.

Стохастический факторный анализ – исследование, в котором факторы влияют на результативный показатель вероятностно, т.е. при изменении фактора может быть несколько значений (или диапазон) результирующего показателя. Методы стохастического факторного анализа – теория игр, математическое программирование, множественный корреляционный анализ, матричные модели.

Задание для самостоятельной проектной работы по дисциплине Психологический практикум №5 (SPSS).

Тема: " Факторный анализ ".

Выполнила:

Студентка 4 курса

Социально-психологического

факультета

(дневное отделение)

Лалетина Светлана Валерьевна

Факторный анализ.

1.1 Определение статистической процедуры.

Статистический метод, который используется при обработке больших массивов экспериментальных данных. Комплекс аналитических методов, позволяющих выявить скрытые латентные признаки, а так же причины их возникновения и внутренние закономерности их взаимосвязи.

Задачами факторного анализа являются:

* сокращение числа переменных,

* определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных.

Поэтому факторный анализ используется как метод сокращения данных или как метод структурной классификации.

Важное отличие факторного анализа от всех других методов в том, что его нельзя применять для обработки первичных, или, как говорят, «сырых», экспериментальных данных, т.е. полученных непосредственно при обследовании испытуемых. Материалом для факторного анализа служат корреляционные связи, а точнее – коэффициенты корреляции Пирсона, которые вычисляются между переменными, включенными в обследование. Иными словами, факторному анализу подвергаются корреляционные матрицы.

Используется для конструирования тестов и методик; для изучения любых экспериментальных наблюдений, их структуры, исходя из внешних признаков.

Главное понятие факторного анализа – фактор. Это искусственный статистический показатель, возникающий в результате специальных преобразований таблицы коэффициентов корреляции между изучаемыми психологическими признаками, или матрицы корреляций. В результате факторизации из корреляционной матрицы может быть извлечено разное количество факторов вплоть до числа, равного количеству исходных переменных. Однако факторы, выделяемые в результате факторизации, как правило, неравноценны по своему значению.

Метод позволяет составлять гипотезы относительно природных процессов, присущих самому измеряемому свойству. Так же факторный анализ позволяет установить для большого числа признаков узкий набор свойств, характеризующих связь между признаками и факторами.

Факторный анализ имеет 4 стадии:

1. вычисление корреляционной матрицы для всех переменных, участвующих в анализе,

2. извлечение факторов,

3. вращение факторов для создания упрощенной структуры,

4. интерпретация факторов.

1.2 Формула, нормы, применение .

Во всех современных статистических пакетах есть программы для корреляционного и факторного анализов. Компьютерная программа по факторному анализу по существу пытается «объяснить» корреляции между переменными в терминах небольшого числа факторов.

Пример факторной матрицы:

Переменная	Фактор 1	Фактор 2
V 1	0,91	0,01
V 2	0,20	0,96
V 3	0,94	- 0,15

Из матрицы видно, что корреляция между переменной V 1 и первым фактором = 0,91. Чем выше факторная нагрузка, тем больше ее связь с фактором.

Существует одно принципиально важное свойство коэффициента корреляции, благодаря которому составляются описательные характеристики. Коэффициент корреляции, возведенный в квадрат, показывает, какая часть дисперсии (вариативности) признака является общей для двух переменных, или, говоря проще, насколько эти переменные перекрываются. Например, 2 переменные с корреляцией 0,9 перекрываются со степенью 0,9 * 0,9 = 0,81. Т.е. 81% дисперсии той и другой переменной являются общими, т.е. совпадают.

Чтобы вычислить собственные значения фактора 1, нужно возвести в квадрат факторные нагрузки и сложить их по столбцу. 0,91*0,91 + 0,20*0,20 + 0,94*0,94 = 1,7517. Если собственное значение фактора разделить на число переменных, полученное число покажет, какая доля дисперсии объясняется данным фактором. 1,7517: 3 = 0,5839. Фактор 1 объясняет около 58 % информации.

КМО - Коэффициент, характеризующий степень применимости факторного анализа для данной выборки.

0,9 и больше – безусловная адекватность,

0,8 – высокая применимость,

0,7 – приемлемая,

0,6 – удовлетворительная,

0,5 – низкая,

Меньше 0,5 – факторный анализ не приемлем для данной выборки.

Значение Bartletta должно быть не меньше 0,05.

Условия применения факторного анализа:

1. нельзя факторизовать качественные данные, полученные по шкале наименований, например, цвет волос, глаз и т.д.

2. все переменные должны быть независимым, а их распределение должно приближаться к нормальному.

3. связи между переменными должны быть приблизительно линейны или не иметь явно криволинейного характера,

4. в исходной корреляционной матрице должно быть несколько корреляций по модулю выше 0,3. Иначе – трудно извлечь из матрицы какие-либо факторы.

5. выборка испытуемых должна быть достаточно большой (желательно 100 испытуемых).

Тема исследования:

Введение в факторный анализ

В течение последних лет факторный анализ нашел свое применение среди широкого круга исследователей в основном благодаря развитию высокоскоростных компьютеров и пакетов статистических программ (например, DATATEXT, BMD, OSIRIS, SAS и SPSS). Это также коснулось большой группы пользователей, не имеющих соответствующей математической подготовки, но, тем не менее, заинтересованных в использовании потенциальных возможностей факторного анализа в своих исследованиях (Harman, 1976; Horst, 1965; Lawley и Maxswel, 1971; Mulaik, 1972).

Факторный анализ предполагает, что изучаемые переменные представляют собой линейную комбинацию некоторых скрытых (латентных) ненаблюдаемых факторов. Иными словами, существует система факторов и система изучаемых переменных. Определенная зависимость между этими двумя системами позволяет посредством факторного анализа с учетом имеющейся зависимости получать выводы по изучаемым переменным (факторам). Логическая сущность этой зависимости состоит в том, что каузальная система факторов (система независимых и зависимых переменных) всегда имеет уникальную корреляционную систему изучаемых переменных, а не наоборот. Только при жестко ограниченных условиях, налагаемых на факторный анализ, возможна недвусмысленная интерпретация каузальных структур по факторам на наличие корреляции между изучаемыми переменными. Кроме этого, существуют проблемы и другой природы. Например, при сборе эмпирических данных возможно допущение разного рода ошибок и неточностей, что в свою очередь затрудняет работу по выделению скрытых ненаблюдаемых параметров и их дальнейшего исследования.

Что же такое факторный анализ? Факторный анализ относится к множеству статистических техник, основная задача которых состоит в представлении множества изучаемых признаков в виде сокращенной системы гипотетических переменных. Факторный анализ - исследовательский эмпирический метод, который преимущественно находит свое применение в социальных и психологических дисциплинах.

В качестве примера использования факторного анализа можно рассмотреть изучение свойств личности с помощью психологических тестов. Свойства личности не поддаются прямому измерению, о них можно судить только на основании поведения человека, ответов на те или иные вопросы и т.д. Для объяснения собранных эмпирических данных их результаты подвергаются факторному анализу, который и позволяет выявить те личностные свойства, которые оказывали влияние на поведение испытуемых в проведенных опытах.

Первым этапом факторного анализа, как правило, является выбор новых признаков, которые являются линейными комбинациями прежних и «вбирают» в себя большую часть общей изменчивости наблюдаемых данных, а поэтому передают большую часть информации, заключенной в первоначальных наблюдениях. Обычно это осуществляют с помощью метода главных компонент, хотя иногда используют и другие приемы (например, метод главных факторов, метод максимального правдоподобия).

Метод главных компонент– статистический прием, позволяющий преобразовывать исходные переменные в их линейную комбинацию (GeorgH.Dunteman). Цель метода – получить сокращенную систему исходных данных, которая намного проще для понимания и дальнейшей статистической обработки. Этот подход был предложен Пирсоном (1901) и независимо от него получил свое дальнейшее развитие у Хотеллинга (1933). Автор пытался минимизировать использование матричной алгебры при работе с данным методом.

Основная цель метода главных компонент – выделение первичных факторов и определение минимального числа общих факторов, которые удовлетворительно воспроизводят корреляции между изучаемыми переменными. Результат данного шага – матрица коэффициентов факторных нагрузок, представляющих собой в ортогональном случае коэффициенты корреляции между переменными и факторами. При определении числа выделяемых факторов используется следующий критерий: выделяются только факторы с собственными значениями больше указанной константы (как правило, единицы).

Однако обычно факторы, полученные методом главных компонент, не поддаются достаточно наглядной интерпретации. Поэтому следующим шагом факторного анализа является преобразование (вращение) факторов таким образом, чтобы облегчить их интерпретацию. Вращение факторов состоит в нахождении наиболее простой факторной структуры, то есть такого варианта оценки факторных нагрузок и остаточных дисперсий, который и дает возможность содержательно интерпретировать общие факторы и нагрузки.

Наиболее часто исследователями в качестве метода вращения используется метод варимакс. Это метод, позволяющий, с одной стороны, за счет минимизации разброса квадратов нагрузок для каждого фактора, получить упрощенную факторную структуру за счет увеличения больших и уменьшения малых факторных нагрузок, с другой стороны.

Итак, основные цели факторного анализа:

сокращение числа переменных (редукция данных);

определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных .

Поэтому факторный анализ используется или как метод сокращения данных или как метод классификации.

Практические примеры и советы по применению факторного анализа можно, найти в книге Стивенса (Stevens, 1986); более подробное описание приводят Кули и Лонес (Cooley, Lohnes, 1971); Харман (Harman, 1976); Ким и Мюллер (Kim, Mueller, 1978a, 1978b); Лоули и Максвелл (Lawley, Maxwell, 1971); Линдеман, Меренда и Голд (Lindeman, Merenda, Gold, 1980); Моррисон (Morrison, 1967) и Мулэйк (Mulaik, 1972). Интерпретация вторичных факторов в иерархическом факторном анализе, как альтернатива традиционному вращению факторов, дана Верри (Wherry, 1984).

Вопросы подготовки данных для применения

факторного анализа

Рассмотрим ряд вопросов и кратких ответов в рамках использования факторного анализа.

Какой уровень измерений требует факторный анализ или, иными словами, в каких шкалах измерений должны представляться данные для факторного анализа?

Факторный анализ требует, чтобы переменные были представлены в интервальной шкале (Stevens, 1946) и отвечали нормальному распределению. Это требование предполагает также, что в качестве входных данных используются ковариационные или корреляционные матрицы.

Должен ли исследователь избегать использования факторного анализа, когда метрическая основа переменных определена неточно, т.е. данные представлены в порядковой шкале?

Нет необходимости. Многие переменные, представляющие, например, измерения мнений испытуемых по большому количеству тестов, не имеют точно установленной метрической базы. Однако, в общем, предполагается, что многие «порядковые переменные» могут содержать числовые значения, не искажающие и даже сохраняющие основные свойства изучаемого признака. Задачи исследователя: а) правильно определить число рефлексивно выделяемых порядков (уровней); б) учесть, что сумма допущенных искажений будет включена в корреляционную матрицу, являющуюся основой входных данных факторного анализа; в) коэффициенты корреляции закрепляются в качестве «порядковых» искажений в измерениях (Labovitz, 1967, 1970;Kim, 1975).

Долгое время считалось, что искажения назначаются числовым значениям именно порядковых категорий. Однако это необоснованно, поскольку и для метрических величин возможны искажения, пусть даже минимальные, в процессе проведения эксперимента. В факторном анализе результаты зависят от возможного допущения ошибок, получаемых в процессе измерения, а не их происхождения и соотнесения к данным определенного типа шкал.

Можно ли использовать факторный анализ для номинальных (дихотомических) переменных?

Многие исследователи утверждают, что использовать факторный анализ для номинальных переменных очень удобно. Во-первых, дихотомические значения (значения, равные «0» и «1») исключают выбор каких-либо иных, отличных от них. Во-вторых, как результат, коэффициент связи является эквивалентом коэффициента корреляции Пирсона, который и выступает в качестве числового значения переменной для факторного анализа.

Однако однозначно положительного ответа на данный вопрос нет. Дихотомические переменные сложно выразить в рамках аналитической факторной модели: каждая переменная имеет значение весовой нагрузки, по крайней мере, двух основных факторов - общего и частного (Kim,Muller). Даже если эти факторы имеют два значения (что довольно редко встречается в реальных факторных моделях), то итоговые результаты в наблюдаемых переменных должны содержать, как минимум, четыре различных значения, которые, в свою очередь, и оправдывают противоречивость использования номинальных переменных. Поэтому факторный анализ для таких переменных используется с целью получения ряда эвристических критериев.

Сколько должно быть переменных для каждого гипотетически построенного фактора?

Предполагается, что для каждого фактора должно быть, по крайней мере, три переменные. Но это требование опускается, если факторный анализ используется для подтверждения какой-либо гипотезы. В общем, исследователи едины в том, что необходимо иметь, по крайней мере, вдвое больше переменных, чем факторов.

Еще один момент касательно данного вопроса. Чем больше размер выборки, тем достовернее значение критерия ХИ -квадрат. Результаты считаются статистически значимыми, если выборка включает как минимум 51 наблюдение. Таким образом:

N-n-150,(3.33)

где N – размер выборки (число измерений),

n – количество переменных (Lawley, Maxwell, 1971).

Это, конечно, только общее правило.

Какой смысл имеет знак факторной нагрузки?

Сам знак не имеет существенного значения и не существует пути для оценки значимости связи между переменной и фактором. Однако знаки переменных, входящих в фактор, имеют специфическое значение относительно знаков других переменных. Различные знаки просто означают, что переменные связаны с фактором в противоположных направлениях.

Например, по результатам факторного анализа было получено, что для пары качеств открытый-замкнутый (многофакторный опросник Кетелла) имеют место соответственно положительная и отрицательная весовые нагрузки. Тогда говорят, что доля качестваоткрытый, в выделенном факторе больше, чем доля качествазамкнутый.

Главные компоненты и факторный анализ

Факторный анализ как метод редукции данных

Предположим, что проводится (до некоторой степени "глупое") исследование, в котором измеряется рост ста людей в метрах и сантиметрах. Таким образом, имеются две переменные. Если далее исследовать, например, влияние разных пищевых добавок на рост, будет ли целесообразным использовать обе переменные? Вероятно, нет, т.к. рост является одной характеристикой человека, независимо от того, в каких единицах он измеряется.

Предположим, что измеряется удовлетворенность людей жизнью с помощью опросника, содержащего различные пункты. Задаются, например, вопросы: удовлетворены ли люди своим хобби (пункт 1) и как интенсивно они им занимаются (пункт 2). Результаты преобразуются так, что средние по уровню ответы (например, для удовлетворенности) соответствуют значению 100, в то время как ниже и выше средних ответов расположены меньшие и большие значения, соответственно. Две переменные (ответы на два разных пункта) коррелированы между собой. Из высокой коррелированности двух этих переменных можно сделать вывод об избыточности двух пунктов опросника. Это, в свою очередь, позволяет осуществить объединение двух переменных в один фактор.

Новая переменная (фактор) будет включать в себя наиболее существенные черты обеих переменных. Итак, фактически, выполнено сокращение исходного числа переменных и осуществлена замена двух переменных одной. Отметим, что новый фактор (переменная) в действительности является линейной комбинацией двух исходных переменных.

Пример, в котором две коррелированные переменные объединены в один фактор, показывает главную идею факторного анализа или, более точно, анализа главных компонент. Если же пример с двумя переменными распространить на большее число переменных, то вычисления становятся сложнее, однако основной принцип представления двух или более зависимых переменных одним фактором остается в силе.

Метод главных компонент

Анализ главных компонент является методом сокращения или редукции данных, т.е. методом сокращения числа переменных. Возникает естественный вопрос: сколько факторов следует выделять? Отметим, что в процессе последовательного выделения факторов они включают в себя все меньше и меньше изменчивости. Решение о том, когда следует остановить процедуру выделения факторов, главным образом зависит от точки зрения на то, что считать малой "случайной" изменчивостью. Это решение достаточно произвольно, однако имеются некоторые рекомендации, позволяющие рационально выбрать число факторов (см. раздел Собственные значения и число выделяемых факторов ).

В случае, когда имеются более двух переменных, можно считать, что они определяют трехмерное "пространство" точно так же, как две переменные определяют плоскость. Если имеется три переменные, то можно построить трехмерную диаграмму рассеяния (см. рис. 3.10).

Рис. 3.10. Трехмерная диаграмма рассеяния признака

Для случая более трех переменных, становится невозможным представить точки на диаграмме рассеяния, однако логика вращения осей с целью максимизации дисперсии нового фактора остается прежней.

После того, как найдена линия, для которой дисперсия максимальна, вокруг нее остается некоторый разброс данных и процедуру естественно повторить. В анализе главных компонент именно так и делается: после того, как первый фактор выделен , то есть, после того, как первая линия проведена, определяется следующая линия, максимизирующая остаточную вариацию (разброс данных вокруг первой прямой), и т.д. Таким образом, факторы последовательно выделяются один за другим. Так как каждый последующий фактор определяется так, чтобы максимизировать изменчивость, оставшуюся от предыдущих, то факторы оказываются независимыми друг от друга (некоррелированными или ортогональными ).

Собственные значения и число выделяемых факторов

Рассмотрим некоторые стандартные результаты анализа главных компонент. При повторных вычислениях выделяются факторы с все меньшей и меньшей дисперсией. Для простоты изложения считают, что обычно работа начинается с матрицы, в которой дисперсии всех переменных равны 1,0. Поэтому общая дисперсия равна числу переменных. Например, если имеется 10 переменных и дисперсия каждой из них равна 1, то наибольшая изменчивость, которая потенциально может быть выделена, равна 10 раз по 1.

Предположим, что при изучении степени удовлетворенности жизнью включено 10 пунктов для измерения различных аспектов удовлетворенности домашней жизнью и работой. Дисперсия, объясненная последовательными факторами, представлена в таблице 3.14:

Таблица 3. 14

Таблица собственных значений

STATISTICA ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ	Собственные значения (factor.sta) Выделение: Главные компоненты
Значение	Собственные значения	% общей дисперсии	Кумулят. собств. знач.	Кумулят. %

Во втором столбце таблицы 3. 14. (Собственные значения) представлена дисперсия нового, только что выделенного фактора. В третьем столбце для каждого фактора приводится процент от общей дисперсии (в данном примере она равна 10) для каждого фактора. Как видно, первый фактор (значение 1) объясняет 61 процент общей дисперсии, фактор 2 (значение 2) – 18 процентов, и т.д. Четвертый столбец содержит накопленную (кумулятивную) дисперсию.

Итак, дисперсии, выделяемые факторами, названы собственными значениями . Это название происходит из использованного способа вычисления.

Как только получена информация о том, сколько дисперсии выделил каждый фактор, можно возвратиться к вопросу о том, сколько факторов следует оставить. Как говорилось выше, по своей природе это решение произвольно. Однако имеются некоторые общеупотребительные рекомендации, и на практике следование им дает наилучшие результаты.

Критерии выделения факторов

Критерий Кайзера. Сначала отбираются только те факторы, собственные значения которых больше 1. По существу, это означает, что если фактор не выделяет дисперсию, эквивалентную, по крайней мере, дисперсии одной переменной, то он опускается. Этот критерий предложен Кайзером (Kaiser, 1960), и является наиболее широко используемым. В приведенном выше примере (см. табл. 3.14) на основе этого критерия следует сохранить только 2 фактора (две главные компоненты).

Критерий каменистой осыпи является графическим методом, впервые предложенным Кэттелем (Cattell, 1966). Он позволяет изобразить собственные значения в виде простого графика:

Рис. 3. 11. Критерий каменистой осыпи

Оба критерия были изучены подробно Брауном (Browne, 1968), Кэттелем и Джасперсом (Cattell, Jaspers, 1967), Хакстианом, Рожерсом и Кэттелем (Hakstian, Rogers, Cattell, 1982), Линном (Linn, 1968), Тюкером, Купманом и Линном (Tucker, Koopman, Linn, 1969). Кэттель предложил найти такое место на графике, где убывание собственных значений слева направо максимально замедляется. Предполагается, что справа от этой точки находится только «факториальная осыпь» («осыпь» – геологический термин, обозначающий обломки горных пород, скапливающиеся в нижней части скалистого склона). В соответствии с этим критерием можно оставить в рассмотренном примере 2 или 3 фактора.

Какому критерию все-таки следует отдавать предпочтение на практике?Теоретически, можно вычислить характеристики путем генерации случайных данных для конкретного числа факторов. Тогда можно увидеть, обнаружено с помощью используемого критерия достаточно точное число существенных факторов или нет. С использованием этого общего метода первый критерий (критерий Кайзера ) иногда сохраняет слишком много факторов, в то время как второй критерий (критерий каменистой осыпи ) иногда сохраняет слишком мало факторов; однако оба критерия вполне хороши при нормальных условиях, когда имеется относительно небольшое число факторов и много переменных.

На практике возникает важный дополнительный вопрос, а именно: когда полученное решение может быть содержательно интерпретировано. Поэтому обычно исследуется несколько решений с большим или меньшим числом факторов, и затем выбирается одно наиболее "осмысленное". Этот вопрос далее будет рассматриваться в рамках вращений факторов.

Общности

На языке факторного анализа доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам (и разделяемая с другими переменными) называется общностью . Поэтому дополнительной работой, стоящей перед исследователем при применении этой модели, является оценка общностей для каждой переменной, т.е. доли дисперсии, которая является общей для всех пунктов. Тогда доля дисперсии , за которую отвечает каждый пункт, равна суммарной дисперсии, соответствующей всем переменным, минус общность (Harman, Jones, 1966).

Главные факторы и главные компоненты

Термин факторный анализ включает как анализ главных компонент, так и анализ главных факторов. Предполагается, что, в целом, известно сколько факторов следует выделить. Можно узнать (1) значимость факторов, (2) можно ли интерпретировать их разумным образом и (3) как это сделать. Чтобы проиллюстрировать, каким образом это может быть сделано, производятся действия "в обратном порядке", то есть, начинают с некоторой осмысленной структуры, а затем смотрят, как она отражается на результатах.

Основное различие двух моделей факторного анализа состоит в том, что в анализе главных компонент предполагается, что должна быть использована вся изменчивость переменных, тогда как в анализе главных факторов используется только изменчивость переменной, общая и для других переменных.

В большинстве случаев эти два метода приводят к весьма близким результатам. Однако анализ главных компонент часто более предпочтителен как метод сокращения данных, в то время как анализ главных факторов лучше применять с целью определения структуры данных.

Факторный анализ как метод классификации данных

Корреляционная матрица

Первый этап факторного анализа предусматривает вычисление корреляционной матрицы (в случае нормального выборочного распределения). Вернемся к примеру об удовлетворенности и рассмотрим корреляционную матрицу для переменных, относящихся к удовлетворенности на работе и дома.

Итак, из условия представленной выше задачи следует, что у нас есть массив данных, состоящий из 24 независимых переменных (утверждений), в различных аспектах описывающих текущее состояние авиакомпании X на международном рынке авиаперевозок. Основной задачей проводимого факторного анализа является группировка схожих по смыслу утверждений в макрокатегории с целью сократить число переменных и оптимизировать структуру данных.

При помощи меню Analyze >Data Reduction > Factor вызовите окно Factor Analysis. Перенесите из левого списка в правый переменные для анализа (ql-q24), как показано на рис. 5.32. Поле Selection Variable позволяет выбрать переменную, в разрезе которой будет проводиться анализ (например, класс полета). В нашем случае оставьте это поле Пустым.

Щелкните на кнопке Descriptives и в открывшемся диалоговом окне (рис. 5.33) выберите пункт КМО and Barlett"s test of sphericity. Это позволит определить, насколько имеющиеся данные пригодны для факторного анализа. Окно Descriptives позволяет вывести и другие необходимые описательные статистики. Однако в большинстве примеров из маркетинговых исследований эти возможности, как правило, не используются.

Рис. 5.32.

Рис. 5.33.

Закройте окно Descriptives, щелкнув на кнопке Continue. Далее откройте окно Extraction (рис. 5.34), щелкнув на соответствующей кнопке в главном диалоговом окне Factor Analysis. Это окно предназначено для выбора метода формирования факторной модели; выполните в нем следующие действия.

Рис. 5.34.

Во-первых, в поле Method выберите метод извлечения (формирования) факторов. Общая рекомендация по выбору метода состоит в следующем. Необходимо выбирать тот метод извлечения факторов, который позволяет однозначно классифицировать как можно больше переменных. Таким образом, основные соображения здесь -- число классифицированных факторов и однозначность классификации (то есть каждая переменная должна принадлежать только одному фактору). Как вы увидите ниже, установленный по умолчанию в SPSS метод Principal components в нашем случае позволяет однозначно классифицировать 22 переменные из 24 имеющихся (92 %), что является весьма хорошим показателем. На основании имеющегося опыта автор может утверждать, что хорошим результатом факторного анализа является доля однозначно классифицированных переменных не менее 90 %. Выберите метод Principal components. Данный метод является наиболее подходящим для решения большинства задач маркетинговых исследований при помощи факторного анализа.

Во-вторых, укажите количество образуемых факторов (группа Extract). По умолчанию установлен метод определения количества извлекаемых факторов на основании значений характеристических чисел (Eigenvalues over). He вдаваясь в статистические тонкости, отметим, что характеристические числа используются SPSS для определения количественного и качественного состава извлекаемых факторов. При предустановленном значении данного показателя, равном 1, количество образуемых факторов будет равно количеству переменных, значение характеристических чисел для которых больше или равно 1.

Также существует возможность вручную указать программе, сколько факторов необходимо извлекать (Number of factors). Эта возможность предусмотрена в SPSS для того, чтобы при слишком большом количестве переменных с характеристическим числом больше 1 вручную сократить число факторов. Большое число факторов трудно интерпретировать, поэтому если методом характеристических чисел не удается извлечь приемлемое для интерпретации число факторов (чем меньше, тем лучше), следует самостоятельно указать программе число факторов. Эта задача решается аналитиком в каждом конкретном случае индивидуально. В качестве одного из вариантов решения можно рекомендовать увеличить число eigenvalue с предустановленного значения 1, скажем, до 1,5 или более. Это поможет, если получено большое число факторов с характеристическим числом, приблизительно равным 1, и несколько (2-3 и более) факторов -- с характеристическим числом более 1,5 или другого значения. Также при ручном определении количества факторов аналитик может принять релевантное решение, основываясь на своем опыте или на каких-либо иных предположениях. И наконец, необходимо отметить, что при ручном указании числа извлекаемых факторов иногда количество однозначно классифицированных переменных оказывается меньше, чем при методе экстракции по величине характеристических чисел. Однако данный негативный момент нивелируется возросшей наглядностью результатов факторного анализа -- ведь это позволяет освободиться от факторов, в которых нет переменных со значимым коэффициентом корреляции (в нашем случае 0,5).

Закройте диалоговое окно Extraction, щелкнув на кнопке Continue. Выберите тип ротации матрицы коэффициентов (кнопка Rotation в главном диалоговом окне Factor Analysis). Ротация коэффициентной матрицы производится для того, чтобы максимально приблизить факторную модель к идеалу: возможности однозначно классифицировать все переменные. В диалоговом окне Rotation (рис. 5.35) выберите конкретный метод ротации. В большинстве случаев наиболее приемлемым вариантом является метод Varimax. Он облегчает интерпретацию факторов, минимизируя количество переменных с высокими факторными нагрузками. Выберите этот тип ротации и закройте диалоговое окно, щелкнув на кнопке Continue.

Рис. 5.35.

Далее откройте диалоговое окно Factor Scores (рис. 5.36), щелкнув на кнопке Scores. Это окно служит для создания в исходном файле данных новых переменных, которые в дальнейшем позволят отнести каждого респондента к определенной группе (фактору). Число вновь создаваемых переменных равно числу извлеченных факторов. Ниже мы покажем, каким образом использовать данные переменные. Выберите в диалоговом окне Factor Scores параметр Save as variables, а в качестве метода определения значений для этих новых переменных -- регрессионную модель Regression. После этого закройте диалоговое окно, щелкнув на кнопке Continue.

Рис. 5.36.

Последним этапом перед запуском процедуры факторного анализа является выбор некоторых дополнительных параметров (кнопка Options). В открывшемся диалоговом окне (рис. 5.37) выберите два пункта: Sorted by size и Suppress absolute values less than. Первая опция позволяет вывести переменные, входящие в каждый фактор, в порядке убывания их факторных коэффициентов (величины вклада переменной в формирование фактора). Вторая оказывается весьма полезна, так как облегчает задачу однозначной интерпретации полученных факторов. Указанное в соответствующем поле значение данного параметра (в нашем случае 0,5) отсекает переменные с факторными коэффициентами менее данного значения. Это позволяет упростить ротированную матрицу факторов, поскольку из нее исчезают незначимые переменные, входящие в каждый извлеченный фактор. Если вы не задействуете данный параметр, для каждой переменной будет отображен факторный коэффициент по каждому фактору, что излишне перегрузит факторную модель и затруднит ее восприятие исследователями.

Параметр Suppress absolute values less than вводится, чтобы облегчить практическую интерпретацию результатов факторного анализа. Так как факторные коэффициенты в результирующей ротированной матрице коэффициентов являются коэффициентами корреляции между соответствующими переменными и факторами, в большинстве практических случаев целесообразно устанавливать начальное значение отсечения незначимых переменных на уровне 0,5. Если в результате факторного анализа окажется, что число классифицированных переменных менее приемлемого (например, если структура данных не вполне подходит для факторного анализа; см. ниже), можно пересчитать факторную модель с меньшим значением отсечения (например, 0,4). В обратной ситуации, если переменная входит в несколько факторов, можно предложить повысить уровень экстракции с 0,5 до 0,6. Это позволит устранить переменные, входящие сразу в несколько факторов, увеличив практическую пригодность результатов факторного анализа.

Итак, указав все необходимые параметры в окне Options, закройте его (кнопка Continue) и запустите процедуру факторного анализа при помощи щелчка на кнопке 0К в главном диалоговом окне Factor Analysis.

Рис. 5.37.

После того как программа произведет все необходимые расчеты, откроется окно SPSS Viewer с результатами построения факторной модели. Первое, что нас интересует, -- это пригодность имеющихся данных для факторного анализа в целом. Посмотрим на таблицу КМО and Barlett"s Test (рис. 5.38). В ней есть два интересующих нас показателя: тест КМО и значимость теста Barlett. Результаты теста КМО позволяют сделать вывод относительно общей пригодности имеющихся данных для факторного анализа, то есть насколько хорошо построенная факторная модель описывает структуру ответов респондентов на анализируемые вопросы. Результаты данного теста варьируются в интервале от 0 (факторная модель абсолютно неприменима) до 1 (факторная модель идеально описывает структуру данных). Факторный анализ следует считать пригодным, если КМО находится в пределах от 0,5 до 1. В нашем случае этот показатель равен 0,9, что является весьма хорошим результатом.

Barlett"s test of sphericity проверяет гипотезу о том, что переменные, участвующие в факторном анализе, некоррелированы между собой. Если данный тест дает положительный результат (переменные некоррелированы), факторный анализ следует признать непригодным использовать другие статистические методы (например, кластерный анализ). Статистикой, определяющей пригодность факторного анализа по тесту Barlett, является значимость (строка Sig.). При приемлемом уровне

значимости (ниже 0,05) факторный анализ считается пригодным для анализа исследуемой выборочной совокупности. В нашем случае рассматриваемый тест показывает весьма низкую значимость (менее 0,001), из чего следует вывод о применимости факторного анализа.

Итак, на основании тестов КМО и Barlett мы пришли к выводу, что имеющиеся у нас данные практически идеально подходят для исследования при помощи факторного анализа.

Рис. 5.38.

Следующим шагом в интерпретации результатов факторного анализа является рассмотрение результирующей ротированной матрицы факторных коэффициентов: таблицы Rotated Component Matrix (рис. 5.39). Данная таблица является основным результатом факторного анализа. В ней отражаются результаты классификации переменных по факторам. В нашем случае при помощи автоматического метода определения количества факторов (на основании характеристических чисел больше 1) была построена практически приемлемая факторная модель, в которой 22 из 24 переменных удалось однозначно классифицировать по небольшому числу факторов (5). Данный результат может считаться хорошим.

С неклассифицированными переменными можно поступить следующим образом. Необходимо просто пересчитать факторную модель, удалив в диалоговом окне Options ранее установленное значение отсечения 0,5. Далее будет построена факторная матрица (рис. 5.40), в которой аналитику предстоит самостоятельно определить принадлежность неклассифицированных переменных к тому или иному фактору на основании критерия наибольшего коэффициента корреляции между переменными и пятью факторами. В нашем случае вы видите, что переменная ql6 в наибольшей степени коррелирует с фактором 1 (факторный коэффициент 0,468) и, следовательно, должна быть отнесена к данному фактору, а переменная q24 -- с фактором 4 (0,474).

После того как мы однозначно классифицировали все переменные, вернемся к таблице на рис. 5.40. Мы получили пять групп переменных (факторов), описывающих текущую конкурентную позицию авиакомпании X с пяти различных сторон. Вот эти группы.

q2. Авиакомпания X может конкурировать с лучшими авиакомпаниями мира. q3. Я верю, что у авиакомпании X есть перспективное будущее в мировой авиации. q23. Авиакомпания X -- лучше, чем многие о ней думают. q!4. Авиакомпания X -- лицо России.

Рис. 5.39.

qlO. Авиакомпания Х действительно заботится о пассажирах.

ql. Авиакомпания X обладает репутацией компаний, превосходно обслуживающей пассажиров.

q21. Авиакомпания X -- эффективная авиакомпания. q5. Я горжусь тем, что работаю в авиакомпании X.

ql6. Обслуживание авиакомпании X является последовательным и узнаваемым во всем мире.

ql2. Я верю, что менеджеры высшего звена прикладывают все усилия для достижения успеха авиакомпании.

qll. Среди сотрудников авиакомпании имеет место высокая степень удовлетворенности работой.

q6. Внутри авиакомпании X хорошее взаимодействие между подразделениями.

q8. Сейчас авиакомпания X быстро улучшается.

q7. Каждый сотрудник авиакомпании прикладывает все усилия для того, чтобы обеспечить ее успех.

q4. Я знаю, какой будет стратегия развития авиакомпании X в будущем.

ql7. Я бы не хотел, чтобы авиакомпания X менялась.

q20. Изменения в авиакомпании X будут позитивным моментом.

ql8. Авиакомпании X необходимо меняться для того, чтобы использовать в полной мере имеющийся потенциал.

q9. Нам предстоит долгий путь, прежде чем мы сможем претендовать на то, чтобы называться авиакомпанией мирового класса.

q22. Я бы хотел, чтобы имидж авиакомпании X улучшился с точки зрения иностранных пассажиров.

q24. Важно, чтобы люди во всем мире знали, что мы -- российская авиакомпания.

ql9. Я думаю, что авиакомпании X необходимо представить себя в визуальном плане более современно.

ql3. Мне нравится, как в настоящее время авиакомпания X представлена визуально широкой общественности (в плане цветовой гаммы и фирменного стиля).

ql5. Мы выглядим «вчерашним днем» по сравнению с другими авиакомпаниями.

Наиболее сложной задачей при проведении факторного анализа является интерпретация полученных факторов. Здесь не существует какого-либо универсального решения: в каждом конкретном случае, аналитик использует имеющийся практический опыт для того, чтобы понять, почему факторная модель относит ту или иную переменную к данному конкретному фактору. Бывают случаи (особенно при малом числе хорошо формализованных переменных), когда образованные факторы являются очевидными и различия между переменными видны невооруженным глазом. В такой ситуации можно обойтись без факторного анализа и разбить переменные на группы вручную. Однако эффективность и мощь факторного анализа проявляются в сложных и нетривиальных случаях, когда переменные нельзя заранее классифицировать, а их формулировки запутаны. Тогда большой исследовательский интерес будет вызывать классификация переменных именно на основании мнений респондентов, что позволит выявить то, как сами опрошенные поняли тот или иной вопрос.

Когда это возможно и приемлемо для целей исследования, следует формализовать переменные до проведения факторного анализа. Это позволит аналитику заранее сделать предположения о разделении совокупности имеющихся переменных на группы. Задача исследователя при интерпретации результатов факторной матрицы в данном случае упростится, так как он уже не будет начинать «с чистого листа». Его задача сведется к проверке ранее выдвинутых гипотез о принадлежности той или иной переменной к конкретной группе.

Иногда возникают случаи, когда переменная, отнесенная SPSS к конкретному фактору, логически никак не связана с остальными переменными, составляющими тот же фактор. Можно пересчитать факторную модель без отсечения незначимых коэффициентов (как в примере на рис. 5.40) и посмотреть, с каким еще фактором данная нелогичная переменная коррелирует практически с той же силой, как с фактором, к которому она была отнесена автоматически. Например, переменная Z имеет коэффициент корреляции с фактором 1, равный 0,505, а с фактором 2 она коррелирует с коэффициентом 0,491. SPSS автоматически относит данную переменную к тому фактору, с которым выявлена наибольшая корреляция, не учитывая при этом, что с другим фактором данная переменная коррелирует практически с той же силой. Именно в такой ситуации (при небольшой разнице в коэффициентах корреляции) можно попробовать отнести переменную Z к фактору 2, и если это окажется логичным, рассматривать ее в группе переменных из второго фактора.

Можно вручную сократить число извлекаемых факторов, что облегчит задачу исследователя при интерпретации результатов факторного анализа. Однако необходимо иметь в виду, что такое сокращение снизит гибкость факторной модели и даже может привести к ситуации, когда переменные будут ложно разделены на неверные, с практической точки зрения, группы. Также снижение числа извлекаемых факторов неизбежно снизит и долю однозначно классифицированных факторов.

В качестве варианта предыдущего решения можно предложить объединить два или более факторов с небольшими количествами входящих в них переменных. Такая группировка, с одной стороны, позволит снизить число интерпретируемых факторов, а с другой -- облегчит понимание малочисленных факторов.

Если исследователь зашел в тупик и никакие средства не помогают объяснить принадлежность той или иной переменной к конкретному фактору, остается применить другую статистическую процедуру (например, кластерный анализ).

Вернемся к нашим пяти факторам. Задача их описания и объяснения представляется не очень сложной. Так, можно заметить, что утверждения, входящие в первый фактор (q2, q3, q23, ql4, qlO, ql, q21, q5 и ql6), являются общими, то есть касаются всей авиакомпании и описывают отношение к ней со стороны авиапассажиров. Единственное исключение составила переменная q5, имеющая отношение скорее ко второму фактору. Коэффициент корреляции с фактором 2 -- 0,355 (см. рис. 5.40), что позволяет отнести его в данную группу из соображений логики. Фактор 2 (ql2, qll, q6, q8, q7 и q4) описывает отношение к авиакомпании X со стороны сотрудников. Третий фактор (ql7, q20 и ql8) описывает отношение респондентов к изменениям в авиакомпании (в него попали все утверждения, имеющие корень «мен» -- от слова «изменение»). Четвертый фактор (q9, q22 и q24) описывает отношение респондентов к имиджу авиакомпании. Наконец, пятый фактор (ql9, ql3 и ql5) объединяет утверждения, характеризующие отношение респондентов к визуальному образу авиакомпании X.

Таким образом, мы получили пять групп утверждений, описывающих текущую конкурентную позицию компании X на международном рынке авиаперевозок. На основании проведенного интерпретационного (семантического) анализа можно присвоить данным группам (факторам) следующие определения.

¦ Фактор 1 характеризует общее положение авиакомпании X в глазах ее клиентов.

¦ Фактор 2 характеризует внутреннее состояние авиакомпании X с точки зрения ее сотрудников.

¦ Фактор 3 характеризует изменения, происходящие в авиакомпании X.

¦ Фактор 4 характеризует имидж авиакомпании X.

¦ Фактор 5 характеризует визуальный образ авиакомпании X.

После того как мы успешно интерпретировали все полученные факторы, можно считать факторный анализ завершенным и удавшимся. Далее мы покажем, как можно использовать результаты факторного анализа для построения разрезов.

Вспомним о том, что мы сохранили факторные рейтинги (то есть принадлежность каждого респондента к определенному фактору) в исходном файле данных в виде новых переменных. Эти переменные имеют имена типа: facX_Y, где X -- это номер фактора, a Y -- порядковый номер факторной модели. Если мы строили факторную модель дважды и в результате в первый раз было извлечено три фактора, а во второй -- два, имена переменных будут следующими:

¦ facl_l, fac2_l, fac3_l (для трех факторов из первой построенной модели);

¦ facl_2, fac2_2 (для двух факторов из второй модели).

В нашем случае будет создано пять новых переменных (по числу извлеченных факторов). Эти факторные рейтинги в дальнейшем могут использоваться, например, для построения разрезов. Так, если необходимо выяснить, каким образом респонденты -- мужчины и женщины -- оценивают различные стороны деятельности авиакомпании X, это можно сделать при помощи анализа факторных рейтингов.

Наиболее частый способ использования факторных рейтингов в дальнейших расчетах -- это ранжирование и последующее разделение вновь созданных переменных, обозначающих извлеченные факторы, на четыре квартиля (25%-проценти-ля). Такой подход позволяет создать новые переменные с порядковой шкалой, описывающие четыре уровня каждого фактора. В нашем случае для утверждений, составляющих фактор 2, такими уровнями будут: не согласен (состояние внутренних дел компании не удовлетворяет сотрудников), скорее не согласен (оценка внутренней ситуации в компании ниже среднего), скорее согласен (оценка выше среднего), согласен (оценка отлично).

Чтобы создать переменные, по которым далее будут группироваться респонденты, вызовите меню Transform > Rank Cases. В открывшемся диалоговом окне (рис. 5.41) из левого списка выберите переменную, содержащую факторные рейтинги для фактора 2 (fac2_l), и поместите ее в поле Variables. Далее в области Assign Rank I to выберите пункт Smallest value, в нашем случае это означает, что первую группу (не согласен) составят респонденты, оценивающие состояние внутренних дел авиакомпании как плохое. Соответственно группы 2, 3 и 4 будут определены для категорий скорее не согласен, скорее согласен и согласен соответственно.

Рис. 5.41.

Щелкните на Rank Types > Types, отмените установленный по умолчанию параметр Rank и вместо него выберите Ntiles с предустановленным числом групп, равным 4 (рис. 5.42). Щелкните на кнопке Continue и затем в главном диалоговом окне на ОК. Данная процедура создаст в файле данных новую переменную nfac2_l (2 означает второй фактор), распределяющую респондентов на четыре группы.

Рис. 5.42.

Все респонденты в выборке характеризуются положительным, скорее положительным, скорее отрицательным или отрицательным отношением к текущему состоянию дел в авиакомпании X. Для повышения наглядности рекомендуется присвоить метки каждому из выделенных четырех уровней; можно переименовать и саму переменную. Теперь вы можете проводить перекрестный анализ при помощи новой порядковой переменной, а также строить другие статистические модели, предусмотренные в SPSS. Ниже будет показано, как использовать результаты построения факторной модели в кластерном анализе.

Для иллюстрации возможностей практического использования новой переменной проведем перекрестный анализ влияния пола респондентов на их оценку текущего состояния дел в авиакомпании X (рис. 5.43). Как следует из представленной таблицы, респонденты-мужчины в целом склонны ставить более низкие оценки рассматриваемому параметру авиакомпании по сравнению с женщинами. Так, в структуре оценок очень плохо, плохо и удовлетворительно доля мужчин преобладает; в оценках очень хорошо, напротив, преобладают женщины. При переходе в каждую следующую (более высокую) категорию оценок доля мужчин равномерно убывает, а доля женщин, соответственно, возрастает. Тест %2 показывает, что выявленная зависимость является статистически значимой.

Рис. 5.43. Перекрестное распределение: влияние пола респондентов на их оценку текущего состояния дел в авиакомпании X

Возникновение и развитие факторного анализа тесно связано с измерениями в психологии. Длительное время факторный анализ и воспринимался как математическая модель в психологической теории интеллекта. Лишь начиная с 50-х годов ХХ столетия, одновременно с разработкой математического обоснования факторного анализа, этот метод становится общенаучным. К настоящему времени факторный анализ является неотъемлемой частью любой серьезной статистической компьютерной программы и входит в основной инструментарий всех наук, имеющих дело с многопараметрическим описанием изучаемых объектов, таких, как социология, экономика, биология, медицина и другие.

Основная идея факторного анализа была сформулирована еще Ф. Гальтоном , основоположником измерений индивидуальных различий. Она сводится к тому, что если несколько признаков, измеренных на группе индивидов, изменяются согласованно, то можно предположить существование одной общей причины этой совместной изменчивости - фактора как скрытой (латентной), непосредственно не доступной измерению переменной.

Таким образом, главная цель факторного анализа - уменьшение размерности исходных данных с целью их экономного описания при условии минимальных потерь исходной информации. Результатом факторного анализа является переход от множества исходных переменных к существенно меньшему числу новых переменных - факторов. Фактор при этом интерпретируется как причина совместной изменчивости нескольких исходных переменных.

Если исходить из предположения о том, что корреляции могут быть объяснены влиянием скрытых причин - факторов, то основное назначение факторного анализа - анализ корреляций множества признаков.

Одна из основных задач факторного анализа – интерпретация факторов. Ее решение заключается в идентификации факторов через исходные переменные. Осуществляется по результатам обработки с помощью факторных нагрузок. Факторные нагрузки – аналоги коэффициентов корреляции, показывают степень взаимосвязи соответствующих переменных и факторов. Чем больше абсолютная величина факторной нагрузки, тем сильнее связь переменной с фактором, тем больше данная переменная обусловлена действием соответствующего фактора. Каждый фактор идентифицируется по тем переменным, с которыми он в наибольшей степени связан, то есть по переменным, имеющим по этому фактору наибольшие нагрузки. Идентификация фактора заключается, как правило, в присвоении ему имени, обобщающего по смыслу наименования входящих в него переменных.

Если исследователя интересует только структура измеренных признаков, на этом факторный анализ завершается. Продолжая факторный анализ, исследователь далее может вычислить значения факторов для испытуемых, например, с целью их дифференциации по преобладанию арифметических или вербальных способностей.

Выбирая факторный анализ как средство изучения корреляций, исследователь должен отдавать себе отчет в том, что это один из самых сложных и трудоемких методов. Зачастую нет веских оснований предполагать наличие факторов как скрытых причин изучаемых корреляции, и задача заключается лишь в обнаружении группировок тесно связанных переменныx. Тогда целесообразнее вместо факторного анализа использовать кластерный анализ корреляций . Помимо простоты, кластерный анализ обладает еще одним преимуществом: его применение не связано с потерей исходной информации о связях между переменными, что неизбежно при факторном анализе. И уже после выделения групп тесно связанных переменных можно попытаться применить факторный анализ для их объяснения.

Итак, можно сформулировать основные задачи факторного анализа:

1. Исследование структуры взаимосвязей переменных. В этом случае каждая группировка переменных будет определяться фактором, по которому эти переменные имеют максимальные нагрузки.

2. Идентификация факторов как скрытых (латентных) переменных - причин взаимосвязи исходных переменных.

3. Вычисление значений факторов для испытуемых как новых, интегральных переменных. При этом число факторов существенно меньше числа исходных переменных. В этом смысле факторный анализ решает задачу сокращения количества признаков с минимальными потерями исходной информации.

МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИДЕИ И ПРОБЛЕМЫ МЕТОДА

Модель главных компонент лежит в основе большинства методов факторного анализа и часто рассматривается как один из его самостоятельных вариантов. Анализ главных компонент преобразует набор коррелирующих исходных переменных в другой набор - некоррелирующих переменных. Проще всего понять суть этого метода, привлекая геометрические представления.

Предположим, у нас имеются две положительно коррелирующие переменные Х и У, измеренные на группе объектов. Тогда график двумерного распределения (рассеивания) этих объектов в осях измеренных признаков (координаты объектов заданы значениями признаков) будет представлять собой эллипс (рис. 1). Главная ось эллипса М 1 , - это прямая, вдоль которой будет наблюдаться наибольший разброс данных. Вдоль второй оси эллипса М 2 , перпендикулярной первой и проходящей через ее середину, будет наблюдаться наименьший разброс данных.

Рисунок 1. Рисунок 2.

Если перед нами стоит задача представления объектов (точек) в терминах только одной размерности (переменной), то главная ось эллипса является наиболее подходящей, так как вдоль нее объекты отличаются друг от друга лучше (дисперсия больше), чем вдоль любой другой прямой, в том числе и вдоль отдельно оси Х или У.

Анализ главных компонент можно представить как преобразование информации, содержащейся в исходных данных. Главную компоненту можно определить как направление, в котором наблюдается наибольший разброс объектов. Представляя объекты в единицах измерения по этой оси, мы теряем минимум информации об отличии объектов друг от друга. Чем сильнее взаимосвязь двух переменных, тем меньше исходной информации теряется при переходе от двух переменных к одной главной компоненте. Если две переменные не коррелируют, то компоненты (оси) являются равнозначными по информативности, и невозможно определить одну из них как «главную» (рис. 2).

При наличии трех и более коррелирующих переменных принцип определения главных компонент тот же, только модель будет не на плоскости, а в - мерном пространстве, и будет представлять собой - мерный эллипсоид.

Проблемы факторного анализа.

1. Проблема числа факторов. Это первая проблема при проведении факторного анализа. Обычно заранее неизвестно, сколько факторов необходимо и достаточно для представления данного набора переменных. Сама же процедура факторного анализа предполагает предварительное задание числа факторов. Следовательно, исследователь должен заранее определить или оценить их возможное количество. Для этого на первом этапе факторного анализа применяется анализ главных компонент и используется график собственных значений. Для определения числа факторов используется два критерия – критерий Кайзера и критерий отсеивания Кеттела. Эти критерии являются лишь примерным ориентиром, окончательное решение о числе факторов применяется после интерпретации факторов.

2. Проблема общности. Это вторая главная проблема факторного анализа. Общность – это часть дисперсии переменной, обусловленная действием общих факторов. Характерность – часть дисперсии, обусловленная спецификой данной переменной и ошибками измерений. Иными словами, общность – это вклад всех факторов в единичную дисперсию переменной. Проблема общностей заключается в том, что они как и число факторов, неизвестны до начала анализа, но должны каким-то образом задаваться заранее, так как величины факторных нагрузок зависят от величин общностей. В зависимости от решения этой проблемы различают разные методы факторного анализа , то есть, разные способы получения факторной структуры при заданном числе факторов. Наиболее часто применимые методы – анализ главных компонент, факторный анализ образов, метод главных осей, метод невзвешенных наименьших квадратов, обобщенный метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия.

3. Проблема вращения и интерпретации . Это третья основная проблема факторного анализа, решение которой связано с геометрическим представлением факторной структуры. Факторная структура может быть представлена в виде точек-признаков в пространстве факторов. Координаты точки – это факторные нагрузки. Осуществляют поворот осей, чтобы каждая переменная в результате вращения оказалась вблизи оси фактора (варимакс-вращение). В результате вращения каждая переменная имеет нагрузку только по одному фактору. По составу переменных производят интерпретацию факторов.

4. Проблема оценки значений факторов . После интерпретации факторной структуры допустима оценка значений факторов для объектов. Это позволяет перейти к существенно меньшему числу факторов как новых переменных. Это может понадобиться исследователю как для более компактного представления различий между объектами, так и для дальнейшего анализа – регрессионного, дисперсионного и т.д. Для оценки значения фактора используется линейная комбинация значений исходных переменных. Проблема состоит в том, что невозможно точно выразить общий фактор через исходные переменные, можно получить лишь оценку с различной надежностью, так как каждая из переменных содержит кроме общей характерную часть. Факторизация оценки будет тем надежнее, чем больше исходные переменные соответствуют требованиям, предъявляемым к метрическим переменным.

В заключение обзора математических идей и проблем метода следует отметить, что факторный анализ – сложная, но изящная математическая процедура, имеющая достаточное статистическое обоснование. Факторный анализ не добавляет новой информации к эмпирическим данным, только позволяет их интерпретировать.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Особенность факторного анализа заключается в неопределенности решения его основных проблем. Нет четких критериев качества, есть лишь рекомендации, которыми руководствуется исследователь. Поэтому факторный анализ – пошаговая процедура, где на каждом шаге принимается решение о дальнейших преобразованиях данных.

Весь процесс факторного анализа можно представить как выполнение шести этапов:

1. Выбор исходных данных. Основное требование – все признаки должны быть измерены в метрической шкале. Недопустима функциональная зависимость и корреляции, близкие к единице (для устранения этих переменных вычисляют матрицу интеркорреляций).

2. Решение проблемы числа факторов. Матрица интеркорреляций обрабатывается с использованием анализа главных компонент, применяются критерии отсеивания.

3. Факторизация матрицы интеркорреляций одним из методов.

4. Вращение факторов и их предварительная интерпретация.

5. Принятие решения о качестве факторной структуры.

6. Вычисление факторных коэффициентов и оценок.

До широкого распространения персональных компьютеров полновесный факторный анализ был экзотической, весьма трудоемкой многоэтапной процедурой, когда очередной шаг исследователь выбирает по результатам выполнения предыдущих этапов. В настоящее время можно контролировать процесс факторного анализа, пользуясь современным программным обеспечением. Для этого не нужны знания программиста и математика, достаточны осведомленность в основных математико-статистических идеях метода и умение «читать» промежуточные и конечные результаты факторного анализа. При этом факторный анализ может быть рекомендован для решения очень широкого круга не только исследовательских, но и практических задач. Перечислим некоторые из них:

· факторный анализ как инструмент интерпретации позволяет быстро выделить группировки (кластеры) взаимосвязанных переменных, решая проблемы корреляционного анализа: наличия множества переменных и множества статистических проверок.

· факторный анализ как альтернатива простого суммирования значений исходных переменных позволяет учитывать реальную структуру данных и избегать излишних потерь драгоценной исходной информации. Затраты времени и сил па такую обработку данных при помощи факторного анализа часто меньше, чем при суммировании баллов «вручную». При этом выигрыш весьма ощутим - в детальности и корректности получаемых результатов.

· факторный анализ как подготовительный этап для прогнозирования позволяет получить некоррелированные интегральные переменные (факторы), наиболее пригодные для применения в регрессионном или дискриминантном анализе.

· факторный анализ при исследовании индивидуальных или межгрупповых различий по множеству признаков позволяет сократить исходное множество признаков до нескольких факторов, по которым различия проявляются наиболее ярко.